Анотація курсу. Дисципліна «Алгебра і геометрія» є фундаментальною математичною дисципліною, яка належить до обов’язкових дисциплін загальної підготовки фахівців зі спеціальності 122 «Комп’ютерні науки» за ОПП «Комп’ютерні науки».
Мета дисципліни «Алгебра і геометрія» – формування у здобувачів ступеня вищої освіти необхідних теоретичних знань та практичних навичок основ лінійної алгебри, векторної алгебри, аналітичної геометрії на площині і в просторі та елементів диференціальної геометрії, які є базою при подальшому вивченні спеціальних наук; сприяння розвитку логічного і аналітичного мислення студентів.
Завдання дисципліни:
- допомогти оволодіти теоретичними основами лінійної алгебри, векторної алгебри, аналітичної та диференціальної геометріїі;
- вчити застосовувати знання в практичних ситуаціях;
- вчити виявляти, ставити та вирішувати проблеми, приймати обґрунтовані рішення;
- сприяти формуванню навичок алгоритмічного стилю мислення;
- підвищувати загальний рівень математичної культури;
- готувати студентів до науково-дослідної роботи;
- прищеплювати студентам уміння самостійно опановувати і користуватися науковою літературою, шукати, обробляти та аналізувати інформацію з різних джерел.
Тематичний план навчальної дисципліни
- Розділ 1. Елементи лінійної алгебри.
Тема 1. Визначники і матриці.
Визначники, правила їх обчислення. Мінори та алгебраїчні доповнення. Властивості визначників. Матриці. Види матриць. Дії з матрицями. Ранг матриці та методи його обчислення.
Тема 2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) та методи їх розв’язання.
Загальні означення та термінологія СЛАР. Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гаусса. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом оберненої матриці. Дослідження і розв’язання систем m лінійних рівнянь з n невідомими. Теорема Кронекера-Капеллі.
- Розділ 2. Елементи векторної алгебри.
Тема 3. Вектори: загальні означення та термінологія. Лінійні дії з векторами. Проекція вектора на вісь. Скалярний добуток векторів, його властивості та застосування. Векторний добуток векторів, його властивості та застосування. Мішаний добуток векторів, його властивості та застосування.
Тема 4. Евклiдiв простiр.
Поняття евклідового простору. Ортонормований базис евклідового простору. Лiнiйна залежнiсть та незалежнiсть векторiв. Розклад вектора за ортонормованим базисом. Ортогоналізація. Ортогональне доповнення підпростору. Ортогональне проектування. Лінійні перетворення в евклідовому просторі.
- Розділ 3. Елементи аналітичної геометрії.
Тема 5. Пряма лінія на площині.
Загальне рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, що проходить через дві точки. Рівняння прямої, що проходить через точку узаданному напрямку. Рівняння прямої у відрізках. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.
Тема 6. Площина і пряма в просторі.
Площина. Загальне рівняння площини. Рівняння площини що проходить через три точки. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Параметричні рівняння прямої лінії в просторі. Кут між двома прямими в просторі. Рівняння прямої лінії в просторі, що проходить через дві точки.
Тема 7. Лінії другого порядку.
Коло. Еліпс. Гіпербола. Парабола. Канонiчнi рiвняння, властивостi, зображення. Класифікація рівнянь другого порядку. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду.
Тема 8. Системи координат.
Перетворення координат. Перетворення прямокутних декартових координат на площині. Полярна система координат.
Тема 9. Афінна та евклідова геометрії з проективної точки зору.
Проективно-афінна площина і основні афінні інваріанти. Проективно-евклідова площина і основні метричні інваріанти. Застосування проективної геометрії до розв’язування задач математики.
- Розділ 4. Елементи диференціальної геометрії.
Тема 10. Теорія кривих.
Способи завдання кривих. Основні положення теорії кривих. Поняття регулярної кривої. Натуральна параметризація. Кривина кривої. Формули Френе. Основна теорема теорії плоских кривих. Обвідна. Еволюта і евольвента плоскої кривої. Овали, теорема про 4 вершини овалу. Овали сталої ширини.Теорія просторових кривих Репер Френе та тригранник Френе. Кручення кривої. Формули Френе. Щільний дотик кривих і поверхонь. Щільно дотична площина та щільно дотична сфера. Основна теорема теорії кривих у E3 . Індикатриса дотичних, повна кривина, нерівність Фенхеля-Борсука.
Тема 11. Теорія поверхонь.
Способи завдання поверхонь. Перша фундаментальна форма поверхні Поняття регулярної поверхні. Дотична площина поверхні. Перша фундаментальна форма поверхні. довжина кривої, кут між кривими, площа області на поверхні. Відображення поверхонь, Ізометрія, Конформні відображення. Друга фундаментальна форма поверхні Друга фундаментальна форма поверхні. Дотичний параболоїд поверхні. Сферичне відображення. Гаусова кривина поверхні. Нормальна кривина. Головні кривини і головні напрямки. Формули Родріга. Індикатриса Дюпена. Формула Ейлера. Цілком омбілічні поверхні. Лінії кривини. Асимптотичні лінії. Геодезична кривина кривої. Геодезичні лінії. Основні рівняння теорії поверхонь Дериваційні формули Гауса і Вейнгартена. Теорема Egregium Гауса. Рівняння Гауса і Кодацці. Теорема Бонне
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
- Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. 4-те вид. Київ : Ігнатекс-Україна, 2013. 648 с.
- Рубцов М.О. Вища математика : навч. посіб.: у 2-х ч., ч. 1 / М.О. Рубцов, В.І. Кравець, О.П. Назарова. Мелітополь: Видавництво МДПУ ім.Б.Хмельницького, 2015. 242 с.
- Рубцов М.О. Вища математика : навч. посіб.: у 2-х ч., ч. 2 / М.О. Рубцов, В.І. Кравець, О.П. Назарова. Мелітополь: Видавництво МДПУ ім.Б.Хмельницького, 2015. 222 с.
- Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах: Навчальний посібник. К : Центр учбової літератури, 2-ге видання. 2020. 566 с
- Валєєв К. Г. Вища математика: Навч. Посібник: У 2-х ч. Ч.1 /К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова. Київ, 2001. 564 с.
- Мізюк В.Г. Вища математика: навч.-метод. посіб. Рівне: НУВГП, 2010. 163 с.
- 7. Дьоміна Н., Назарова О. Вища математика, частина 1 “Елементи лінійної алгебри, векторної алгебри та аналітичної геометрії” : навчально-методичний посібник для самостійної роботи – Мелітополь : ФОП Силаєва О.В., 2021. 124 с.
- Дьоміна Н.А. «Алгебра і геометрія» : Конспект лекцій. Мелітополь, ТДАТУ, 2019. 104 с.
- Назарова О.П., Рубцов М.О., Іщенко О.А. та ін.. Індивідуальні завдання з вищої математики : Навч. посібник. Мелітополь: ТОВ «Видавничий будинок ММД», 2011. 238 с.
- 4. Трохименко В.С. Конспект лекцій з диференціальної геометрії і топології. Вінницький держ. пе. університет. Вінниця, 2009 – 68с.
- Городецький В.В., Мартинюк О.В. Диференціальна геометрія в теоремах і задачах. – Чернівці: Книги ХХІ, 2009. – 395 с.